第321章 续写（3）

    绝对无穷Ω：

    理想的绝对无穷可以看作宇宙v的基数，在新基础集合论nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落，不要与序数中的第一不可序列数搞混

    格罗滕迪克宇宙：

    让我们把格罗滕迪克宇宙的定义说清楚。

    zfc宇宙v的子类u是格罗登迪克宇宙:

    1 如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)

    2 如果x，y∈u，则{x，y}∈u (关于配对的结构是闭合的)

    3 如果x∈u，则pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)

    4i∈u，f:i→u，则u(f )∈u (关于族的合并是封闭的)

    5u∈v (v的元素)

    6w∈u (具有无穷集)u(f )是?i∈if(i )的缩写。

    w是整个自然数的集合。如果去掉第五个条件u∈v，v本身就是格罗滕迪克宇宙。

    但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈sallness〉的条件有u∈v。

    low〈zhen l low〉把去掉最后w∈u的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。也可以制作只包含有限集合的预宇宙。也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。

    不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数 k 会使得 vk?zfc 它可以断言 n(zfc)

    复宇宙：

    假没是一个由zfc模型组成的非空类： 我们说是一个复宇宙，当且仅当它满足：

    1可数化公理

    2伪良基公理

    3可实现公理

    4力迫扩张公理

    5嵌入回溯公理

    对于任意集合论宇宙v若w为集合论的一个模型，同时在v中作为诠释或者说是可定义的，那么w可同样作为一个集合论宇宙。 对于任意集合论宇宙v那么任意位于v内的力迫p,存在一个力迫扩张v[g]其中g?p为v-neri 对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙w且存在一个序数θ满足v?wθ?w对于每一个集合论宇宙v,从另一个更好的集合论宇宙w的角度来说是可列的。 从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙v都是ill-founded的简单说，存在一个集合论宇宙v，并且对任意集合论宇宙，存在一个集合论宇宙w以及w中的一个zfc模型w，使的在w看来，是一个由可数的非良基zfc模型，那v便是复宇宙。 在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。

    脱殊复宇宙：

    令为zfc的可数传递模型，则由生成的脱殊复宇宙v?为满是以下条件的最小模型类：

    1∈v?

    2如果n∈v?，而n’=n[g]是n的脱殊扩张，则n’∈v?

    3如果n∈v?，而n=n’[g]是n’的脱殊扩张，则n’∈v?

    简单说，v?是包含并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。

    如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refents (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。 也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。

    脱殊扩张v(v[g])：

    脱殊扩张说的是包含v可定义的偏序集p，p上面有一个滤子称之为脱殊滤子g，然后通过把g加到v中来产生一个新的结构，v的脱殊扩张v[g]作为一个zfc的模型。

    复复宇宙：

    存在一个复宇宙并且对任意复宇宙,存在一个复宇宙n以及n中的一个zfc模型n,使得在n看来，是一个由可数的非良基的zfc模型组成的复宇宙。

    就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙 于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……

    逻辑多元：

    v-逻辑(v-logic)， v-逻辑具有以下的常元符号:

    a?表示v的每一个集合a v?表示宇宙全体集合容器v

    在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：

    ?b,b∈a，Ψ(b?)├?x∈a?，Ψ(x) ?a,b∈v，Ψ(a?)├?x∈v?，Ψ(x)

    作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于v的集合。然而，使用v-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑v-逻辑中的理论，我们不仅有表示v的元素的常元符号aread-noral-ig，?和表示v本身的常元符号v?，而且还有一个常元符号w?来表示v的“外模型”

    我们增加以下新公理。

    1宇宙v是zfc（或至少是kp，可接受性理论）的一个模型。

    2w?是zfc的一个传递模型，包含v?作为子集，并且与v有相同的序数。

    因此，现在当我们采取一个遵守v-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟zfc（或至少是kp）的宇宙,其中v?被正确地解释为v，w?被解释为v的外模型。请注意，v-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”v的情况下提出的，实际上它是在 v+=(v)内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用v-逻辑将ih转写为以下形式：假设p是一个一阶句子，上述理论连同公理“w?满足p”在v-逻辑中是一致的。那么p在v的一个内模型中成立。

    最终我们成功避免了直接谈论v的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用v-逻辑制定的理论的一致性，并在v+中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过v-逻辑，我们可以得到v+(v-逻辑+zfc的模型)也就是逻辑多元，v-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，v-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为v不需要被认为是可数的。以后我们或许得到v（任一一致的逻辑+zfc的模型）这种东西……